Corollaire du théorème de Bézout

Corollaire

Soit \(a \in \mathbb{Z}\) , \(b \in \mathbb{Z}\) et \(n \in \mathbb{Z}\) non nuls.

On a : \(\mathrm{PGCD}(n;a)=1\) et \(\mathrm{PGCD}(n;b)=1\) si, et seulement si, \(\mathrm{PGCD}(n;ab)=1\) .

Démonstration

On procède par double implication.

\([\Rightarrow]\) On suppose que \(\mathrm{PGCD}(n;a)=1\) et \(\mathrm{PGCD}(n;b)=1\) .

• Comme \(\mathrm{PGCD}(n;a)=1\) , d'après le théorème de Bézout, il existe \((u;v) \in \mathbb{Z}^2\) tel que \(nu+av=1\) .
• Comme \(\mathrm{PGCD}(n;b)=1\) , d'après le théorème de Bézout, il existe \((w,z) \in \mathbb{Z}^2\) tel que \(nw+bz=1\) .

En multipliant ces deux égalités, on a alors :
\(\begin{align*} (nu+av)(nw+bz)=1 & \ \ \Longleftrightarrow \ \ n^2uw+nbuz+navw+abvz=1 \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ n(nuw+buz+avw)+ab(vz)=1 \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ nu'+abv'=1 \end{align*}\)  
avec \(u'=nuw+buz+avw \in \mathbb{Z}\) et \(v'=vz \in \mathbb{Z}\)  donc, d'après le théorème de Bézout, on a :  \(\mathrm{PGCD}(n;ab)=1\) .

\([\Leftarrow]\) On suppose que \(\mathrm{PGCD}(n;ab)=1\) .
D'après le théorème de Bézout, il existe  \((u;v) \in \mathbb{Z}^2\)  tel que  \(nu+abv=1\) .

• D'une part, on a  \(nu+av'=1\)  avec  \(u \in \mathbb{Z}\)  et  \(v'=bz \in \mathbb{Z}\)  donc, d'après le théorème de Bézout, on a :  \(\mathrm{PGCD}(n;a)=1\) .
  
• D'autre part, on a  \(nu+bv''=1\)  avec  \(u \in \mathbb{Z}\)  et  \(v''=az \in \mathbb{Z}\)  donc, d'après le théorème de Bézout, on a :  \(\mathrm{PGCD}(n;b)=1\) .